Евгений Яковлевич родился в 1923 году в Петрограде. Затем семья перебралась в Кривой Рог. В 1937 году его отца арестовали как врага народа, а самого мальчика отправили в специнтернат для детей врагов народа. Однако по дороге он сбежал. Вернуться в родной дом помогла протекция самого Калинина, с которым отец Весника когда-то работал. Именно по его настоянию подростка прописали в родной квартире и оставили в покое.
Затем была война. "Мы все шли воевать за высшую цель. Я забыл свои обиды. Я воевал за свою родину и за светлую память о моих родителях", - рассказывал Евгений Яковлевич.
После войны, в 1948 году, он закончил Театральное училище имени Щепкина и стал актером драматического театра имени Станиславского. А в 1954 году ушел в театр Сатиры, затем в труппу Малого театра.
В кино Весник начал сниматься в 1955 году. Среди наиболее ярких фильмов с участием Евгения Весника - "Обыкновенное чудо", "Семь стариков и одна девушка", "Угрюм-река", "Чудак из пятого "Б", "Чародеи"и "Ширли-мырли".
В 1979 году Евгений Весник был приглашен на роль учителя математики в фильм "Приключения электроника". По его собственному признанию, некоторые характерные черты, например, манеру разговаривать немного в нос, он взял от Маршака, а походку - у знакомого врача. Получился настолько симпатичный герой, что вскоре после выхода фильма на экраны Весник получил письмо от учащихся одной школы с просьбой прийти к ним преподавать математику.
Евгений Яковлевич считался весельчаком и очень хорошим рассказчиком, поэтому его охотно приглашали в телепрограммы, он также выпустил больше десятка книг, среди которых: "Абракадабры" и "Задушевные беседы со снежным человеком".
В 1998 году актер был награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени.
